[Linear Algebra] Part18. $rank(A)=rank(A^{T}A)$의 증명

1. $rank(A)=rank(AA^{T})=rank(A^{T}A)$의 증명

앞선 랭크의 정리에 대한 포스팅에서 $rank(A)=rank(A^T)$라는 것을 정리했다.

간단하게 다시 말하자면, $A$의 랭크, 즉 열공간의 독립적인 벡터 수는 $A^{T}$의 랭크와 같다는 것이다.

이를 rank theorem 라고 한다.

 

증명

주어진 행렬 $A$에 대해서, $rank(A)$를 $r$이라고 하고 $A$의 열벡터를 {v₁, v₂, ..., vᵣ}이라고 할때,  {v₁, v₂, ..., vᵣ}는 $A$의 열공간을 형성한다.

이때 $A^{T}A$는 $A$의 열벡터들에 대한 내적의 형태로 구성된다.

 

$$A^{T}A = \begin{bmatrix} - & v_{1}^{T} & - \\ - & v_{2}^{T} & - \\ & \cdots & \\ - & v_{r}^{T} & - \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} | & | & & | \\ v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{r} \\ | & | & & | \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{1}^{T}v_{1} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & v_{2}^{T}v_{2} & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & v_{3}^{T}v_{3} & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & v_{r}^{T}v_{r} \\ \end{bmatrix}$$

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내적형태로 구성된 결과행렬에서 대각선 성분들은 $v_{r}^{T}v_{r}$ 형태의 자기자신에 대한 내적으로 나타나고 나머지 성분들은 각 열벡터끼리의 내적으로 표현된다.

이때 열벡터끼리 선형독립이라면 내적값은 0이 되며, 선형종속이라면 내적값이 0이 아닌 값을 가지게 된다.

 

대각성분에 있는 $v_{r}^{T}v_{r}$이 0이 아닌 벡터가 $A^{A}$의 기저벡터가 되며, 내적값이 0인 벡터쌍이 서로 독립적인 벡터가 된다. 즉, 대각성분을 제외한 모든 성분이 0인 행 또는 열이 선형독립적인 벡터가 되며 이 수가 $rank(A^{T}A)$가 된다.

 

정리하자면

$A^{T}A$의 성분은 $A$의 열벡터의 내적으로 표현할 수 있고, 이는 곧 $A$의 열벡터끼리의 내적값을 통해 서로 독립적인지를 판단하는 것으로 $rank(A)=rank(A^{T}A)$가 된다. $rank(AA^{T})$의 경우도 마찬가지이다.

 

즉 결과적으로 다음이 성립한다.

$$rank(A)=rank(A^{T})=rank(A^{T}A)=rank(AA^{T})$$