[Linear Algebra] Part15. 행렬식 (Determinant)

행렬식은 행렬이 역행렬을 가지는지 확인하는데 쓰인다.

행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않고, 0이 아니면 역행렬이 존재한다.

 

또, 앞선 포스팅에서 역행렬은 정사각행렬에서만 정의된다는 점을 언급했었다.

 

https://kkuneeee.tistory.com/87

[Linear Algebra] Part12. 선형방정식 해의 개수

https://kkuneeee.tistory.com/89

[Linear Algebra] Part14. 역행렬 (Inverse Matrix)

 

그리고 $2\times 2$ 행렬에서 행렬식( $det(A)=ad-bc$ )에 대한 개념을 잠깐 정리했었다.

 

그렇다면 $3\times 3$, $n\times n$에 대한 행렬식은 어떻게 될까?

또, 왜 정사각행렬에서만 역행렬이 존재하는 걸까?

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1. $n\times n$ 행렬식 : Laplace Expansion(Cofactor Expansion)

$2\times 2$ 행렬에 대한 행렬식은 앞선 정리에서처럼 $det(A)=ad-bc$이다.

그렇다면, $3\times 3$, $n\times n$은 어떨까?

 

아래를 식을 보자.

 

$$A=\begin{bmatrix} {\color{Red} a} & {\color{DarkGreen} b} & {\color{Blue} c} \\ {\color{Red} d} & {\color{DarkGreen} e} & {\color{Blue} f} \\ {\color{Red} g} & {\color{DarkGreen} h} & {\color{Blue} i} \\ \end{bmatrix} \Rightarrow det(A) = {\color{Red} a}({\color{DarkGreen} e}{\color{Blue} i}-{\color{Blue} f}{\color{DarkGreen} h})- {\color{DarkGreen} b}({\color{Red} d}{\color{Blue} i}-{\color{Blue} f}{\color{Red} g})+ {\color{Blue} c}({\color{Red} d}{\color{DarkGreen} h}-{\color{DarkGreen} e}{\color{Red} g})$$

 

$3\times 3$ 행렬의 행렬식은 위와 같다.

각각의 색상은 같은 열을 나타내는 것이며, 규칙성을 보이기 위한 조치이다.

 

우선, 기준이 될 행을 선택한다.

여기서는 편의상 1행을 기준으로 한다. 어떤 행을 선택할지는 상관없다.

1행의 성분을 고정하고 해당 성분의 행과 열을 제외한 나머지 두 행의 행렬식을 곱한다. 그리고 각 성분에서 구해진 식을 기준이 성분의 행과 열의 합이 짝수면 +, 홀수면 -를 붙여서 모두 합한 것이다.

 

이러한 규칙성을 가지고 행렬식을 구하는 것을 Laplace Expansion 또는 Cofactor Expansion이라고 한다.

 

이와 같은 방식으로 $n\times n$ 행렬의 행렬식도 구할 수 있다.

 

이 외에도 $3\times 3$ 행렬을 구하는 다른 연산방식이나, Laplace Expansion 외에도 Big Formula 방법도 있으나 넘어가도록 한다.

 

 

2. 성질

1. $det(A)=0 \leftrightarrow  A \; is \; singular$ : $A$는 역행렬 X
2. $A$가 rank-deficient $\leftrightarrow$ $det(A)=0$ : $A$는 역행렬 X
   • $A$의 열벡터 중 하나라도 선형종속인 경우 : rank-deficient
3. 대각행렬(Diagonal Matrix)의 경우, $det(A)=sum \;of\; diagonal \; elements$ : $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$
   • 대각성분 중 하나라도 0이면, $det(A)=0$ : 역행렬 X
4. 삼각행렬(Triangular Matrix)의 경우, $det(A)=sum \;of\; diagonal \; elements$ : $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$
   • 삼각행렬은 대각성분을 기준으로 대각성분 포함 위의 모든 성분 또는 아래의 모든 성분이 0인 행렬을 말한다.
   • 이때, 위에만 성분이 있다면 upper triangular matrix, 아래에만 성분이 있다면 lower triangular matrix라고 한다.
5. $det(I)=1$
6. $c$는 상수, $A_{n\times n}$일때, $det(cA)=c^{n}det(A)$
7. $det(A^{T})=det(A)$
8. $det(AB)=det(A)det(B)$
9. $det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$
   • $det(AA^{-1})=det(A)det(A^{-1})$
   • $det(I)=det(A)det(A^{-1})$
   • $det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$
10. $det(A)=\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}\cdots \lambda_{n}$
    • $\lambda_{n}$ : 고윳값
    • 고윳값이 전부 0이 아니어야 Invertible