[Linear Algebra] Part14. 역행렬 (Inverse Matrix)

역행렬은 앞선 포스팅 가우스-조던 소거법의 내용과 연결된다.

https://kkuneeee.tistory.com/88

[Linear Algebra] Part13. 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)

 

가우스 소거법 정리에서 연관되어 유도되기 때문이다.

 

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1. 역행렬 : Inverse Matrix

역행렬의 정의부터 다시 보자.

역행렬은 정사각행렬 $A$에 대해서 $AX=XA=I$를 만족하는 정사각행렬 X를 말한다.

 

역행렬의 공식은 중고등학교 과정에서 배웠던것과 같이 다음과 같다.

 

$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} $$

 

다른 포스팅에서 언급했듯, 역행렬은 정사각행렬($n\times n$ 행렬)에서만 정의된다. 그 외 행렬에서는 이와 유사한 pseudo inverse matrix를 사용하며, 이는 추후 정리하도록 한다.

 

그럼 이제 역행렬을 유도해보자.

우선, 계수가 같은 연립일차방정식이 다음과 같이 있다.

 

$$ \left\{\begin{matrix} x_{1}+2y_{1}=4 \\ 2x_{1}+5y_{1}=9 \\ \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}+2y_{2}=3 \\ 2x_{2}+5y_{2}=7 \\ \end{matrix}\right. $$

 

이 4개의 일차방정식을 한번에 표현하면 아래와 같은 행렬 수식이 된다.

 

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \\ \end{bmatrix} $$

 

이렇게 계수행렬과 변수행렬의 곱으로 표현할 수 있다.

 

그렇다면 역행렬은 어떻게 나오는 걸까?

위의 식에서 우변의 행렬이 항등행렬($I$)이 될때 변수행렬이 계수행렬의 역행렬이 된다.

 

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\\ $$

 

 

이를 확장행렬로 전환하여 전개하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} a & b & \:|1 & 0 \\ c & d & \:|0 & 1 \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a & b & 1 & 0 \\ 0 & d-\frac{bc}{a} & -\frac{c}{a} & 1 \\ \end{bmatrix} \cdots (1) \\ &= \begin{bmatrix} a & b & 1 & 0 \\ 0 & \frac{ad-bc}{a} & -\frac{c}{a} & 1 \\ \end{bmatrix} \cdots (2)\\ &= \begin{bmatrix} a & b & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\ \end{bmatrix} \cdots (3)\\ &= \begin{bmatrix} a & 0 & 1+\frac{bc}{ad-bc} & -\frac{ab}{ad-bc} \\ 0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\ \end{bmatrix} \cdots (4)\\ &= \begin{bmatrix} a & 0 & \frac{ad}{ad-bc} & -\frac{ab}{ad-bc} \\ 0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\ \end{bmatrix} \cdots (5)\\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\ 0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\ \end{bmatrix} \cdots (6)\\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} \cdots (7)\\ \end{align*} $$

 

우선 위의 행렬 연산의 목적은 a,b,c,d를 성분으로 갖는 행렬 $A$(계수행렬)를 항등행렬로 만드는 것이다. $A$가 항등행렬이 되면 나머지 행렬 성분에 있는 값이 $A^{-1}$이 되기 때문이다.

 

좌변의 행렬의 1행에 $\frac{c}{a}$을 곱하여 2행에서 빼면 (1)과 같은 행렬이 나온다. c가 있던 2행 1열을 0으로 만들어주기 위해서이다. 그리고 통분을 해준다((2)). 그 후, 2행 2열 $\frac{ad-bc}{a}$를 1로 만들어주기 위해 2행에 $\frac{a}{ad-bc}$를 곱해준다((3)). 

(3)까지 했을때, 계수행렬 $A$의 2행이 [0 1]로 변한 걸 확인할 수 있다.

 

마찬가지로 (3)의 행렬에서 2행에 b를 곱해 1행에서 빼준다((4)). 2열의 b를 0으로 만들어주기 위해서이다. (2)와 마찬가지로 통분하고 ((5)), 1행 1열의 a를 1로 만들기 위해서 $\frac{1}{a}$를 1행에 곱해준 다음 ((6)) 결과로 나온 확장행렬을 정리해보면 (7)과 같은 행렬이 나온다.

 

이처럼 가우스 소거법을 통해 계수행렬을 항등행렬로 만들면 역행렬이 도출되는 것을 확인할 수 있다.

 

 

2. ad-bc=0 ?

위의 역행렬 식을 보면 항상 $\frac{1}{ad-bc}$가 행렬에 곱해지는 것을 알 수 있다.

즉, 행렬 A가 정사각행렬이어도, ad-bc가 0이 아니어야만 역행렬이 존재한다는 것이다.

 

이때, ad-bc는 determinat(행렬식)이 되며, 역행렬의 존재유무를 확인하는 중요한 개념이 된다.

 

$$ det(A)\neq 0 $$

 

• $det(A)\neq 0$일때, 역행렬이 존재하며 행렬 A는 Invertible
• $det(A)= 0$일때, 역행렬이 존재하지 않으며 행렬 A는 not Invertible

 

 

3. 정사각행렬 A가 Invertible하다

"정사각행렬 A가 Invertible하다"와 같은 의미인 것들은 다음과 같다.

1. Invertible $\rightarrow $ non-singular matrix ( not Invertible $\rightarrow $ singular matrix )
2. $det(A)\neq 0$, $ad-bc\neq 0$
3. A가 full rank : A는 정사각행렬이므로 ( $det(A)= 0$ $\rightarrow $ rank-deficient )
4. $N(A)=0$ : full rank면, null space에는 영벡터만 존재

 

4. 역행렬의 성질

1. $(AB^{-1})=B^{-1}A^{-1}$
2. $(A^{-1})^{-1}=A$
3. $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
4. $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$
5. $det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$

특히 성질 5.는 매우 중요하므로 추후 행렬식 정리에서 다루도록 하겠다.