[Linear Algebra] Part5. 선형독립, 선형종속 그리고 기저(basis)

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[Linear Algebra] Part4. 선형결합과 벡터공간, 그리고 부분공간

 

앞서 선형결합과 벡터공간, 부분공간에 대해 정리했다.

 

이번에는 벡터공간에서 중요한 개념인 기저(basis)에 대해 정리해보고자 한다.

기저에 대해 정리하기 전에 우선 알아야 할 개념은 선형독립(Linearly Independence)과 선형종속(Linearly Dependence)가 있다.

 

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1. 선형독립(Linearly Independence)과 선형종속(Linearly Dependence)

선형독립 혹은 1차 독립은 이어서 소개할 기저(base)와 차춴(dimension), 행렬의 랭크(계수 : rank), 더 나아가 선형연립방정식의 존재성, 유일성, 가우스 소거법과의 관계 등까지 연관이 있는 중요한 개념이다.

 

선형독립과 선형종속 정의

 

선형결합으로 표현한 벡터방정식이 = 0이며, 이를 만족하는 상수항들이 모두 0이면 선형독립, 하나라도 0이 아니면 선형종속이다.

아래는 이를 조금 더 풀어 설명한 것이지만 여전히 복잡하다..

 

 

정리해보자.

 

선형종속에서 "상수항이 하나라도 0이 아니다"는 어떤 한 벡터를 나머지 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것을 의미하므로, 벡터들이 같은 벡터공간에 존재한다는 것을 의미한다.선형독립에서 "상수항이 모두 0이다"는 말은 어떤 한 벡터를 나머지 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 없다는 것을 의미하므로, 벡터들이 같은 벡터공간에 존재하지 않는 것을 의미한다.

 

이를 그림으로 표현하면 다음과 같다.

 

벡터 u, v, w가 있을때, 왼쪽 그림에서는 벡터 w가 span{u,v}에 존재하기 때문에 선형결합으로 표현할 수 있다. 즉, 선형종속이 된다. 반면, 오른쪽 그림에서는 벡터 w가 span{u,v}에 존재하지 않기 때문에 선형결합으로 표현할 수 없다. 즉, 선형독립이 된다.

 

선형종속일 경우 0이 아닌 해의 상수항을 모두 합하면 0이 된다.

 

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[선형대수] 선형독립(linearly independent), 선형종속(linearly dependent)

 

 

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2. 기저 : base, basis

갑자기 기저(base)라는 것이 나왔다.

 

기저가 무엇일까?

단어 그대로 생각을 해보자면 어떤 것의 기본 바탕이 되는 것이라고 생각할 수 있는데, 여기서 어떤 것은 벡터공간이 된다.

 

선형대수학에서 어떤 벡터공간의 기저(base, basis)는 "그 벡터공간을 선형생성하는 선형독립적인 벡터들"을 말한다.

다시말하면, "벡터공간의 임의의 벡터에게 선형결합으로 유일한 표현을 부여하는 벡터들"이라고 한다.

 

사실 정의만 보면 정확하게 뜻이 전달되지 않는다.

대략적으로 어떤 벡터공간에서 유일한 모양(표현)을 가지는 기본 벡터들이라고 할 수 있겠다.

 

내용을 찾아보던 중, 기저에 대한 비유가 있어서 인용한다.

 

2-1. 집 주소에 대한 비유

사람들은 보통 주소를 말할때 어떻게 말할까?

1. 서울시 OO구 OO동
2. 대전시 부산시 광주시

보통 1과 같이 말할 것이다. 2처럼 하나의 주소에 대해 여러개의 시를 가질 수 없기 때문이다.

그렇다면 1과 2의 차이는 무엇일까?

주소를 나타내는 기저의 차이에 있다.

주소를 나타낼 때는 시, 구, 동 등의 개념이 쓰이며, 1은 그에 맞춰 시, 구, 동 등의 개념이 동시에 표현되지만, 2는 시의 개념만이 쓰였다. 시라는 개념을 통해 나타낸 좌표가 동시에 여러 곳일 수는 없기 때문이다.

 

즉, 주소에서는 '시, 구, 동' 등의 개념이 기저가 되며 각자의 기저는 유일한 표현으로써 존재한다는 것이다.

 

2-2. 그렇다면 좌표평면에서는 어떨까?

 

위의 그림을 행렬로 표현하면 아래와 같다.

 

$$ (1) \cdots \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, (2) \cdots \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

 

위의 두 행렬은 x-y평면을 나타내는 기저가 될 수 있을까?

(1)의 경우는 기저가 될 수 있지만, (2)의 경우는 기저가 될 수 없다. 왜 그럴까?

 

(1)의 경우는 행렬을 구성하는 벡터들을 선형결합하여 x-y평면에 존재하는 모든 점을 나타낼 수 있다. 하지만, (2)의 경우는 선형결합을 통해 나타낼 수 있는 점이 오로지 x축에만 존재하기 때문에 평면의 모든 점을 표현할 수 없다.

 

기저의 정의를 다시 보자.

 

어떤 벡터공간의 기저(base, basis)는 "그 벡터공간을 선형생성하는 선형독립적인 벡터들"

 

즉, (1)의 행렬을 구성하는 벡터들을 선형결합하면 x-y평면이 되지만, (2)의 경우는 하나의 벡터(x축)로 표현할 수 있기 때문에 x-y평면의 기저벡터가 될 수 없다. ( (2)는 x축 벡터공간의 기저벡터는 될 것이다. )

 

*** (1)의 경우, (x,0),(0,y) 형태의 벡터가 있으므로 (ax+by, ax+by)의 벡터들이 생성되지만,

*** (2)의 경우, (x,0) 형태의 벡터만 존재하므로 (ax,0)의 벡터들이 생성된다.

 

부가적으로, (1)의 벡터들은 선형독립적이지만, (2)의 벡터들은 선형종속적이다.

 

2-3. 기저는 유일한 것인가?

결론부터 얘기하자면 아니다.

벡터공간을 이루는 기저벡터는 여러개가 존재할 수 있지만, 그 기저를 구성하는 벡터의 가짓수는 유일하다.

 

즉, x-y평면을 이루는 기저벡터는 (1,0),(0,1) 뿐만 아니라 (2,0),(0,2), (10,0),(0,10) 처럼 (x,0),(0,y) 꼴이면 모두 기저 벡터가 될 수 있지만, 그 기저 벡터의 가짓수 다시 말해 선형독립적인 벡터의 수는 2개가 유일(unique)하다.

 

(x-y 공간은 기저벡터 모양의 가짓수가 2개고, x-y-z 공간에서는 3개인 것일까? 이는 차원(dimension)을 다를 때 정리할 것이다.)

 

*** 여기서 말하는 유일함은 1개만 존재한다는 의미가 아니라, unique한 것으로 이해해야 한다.

 

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참고 1 - 선형독립, 선형종속)

https://m.blog.naver.com/h22hyeon/222044465034

선형독립(linearly independent)

 

참고 2 - 기저)

https://losskatsu.github.io/linear-algebra/basis/#%EC%B0%B8%EA%B3%A0%EB%A7%81%ED%81%AC

[선형대수] 기저(basis)의 의미