[Linear Algebra] Part3. 전치(Transpose)

1. 전치 (Transpose)

 

전치는 대각성분 (Diagonal element : 행렬의 대각에 있는 성분)을 기준으로 행과 열의 성분을 교체하는 것이다.

 

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, A^\top = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \\ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}, B^\top = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \\ \\ C = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, C^\top = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \\ $$

 

 

2. 전치행렬의 특징

전치행렬의 특징은 다음과 같다.

1. $(A^\top)^\top = A$
   • 대각성분을 기준으로 나머지 성분이 대칭일 때 Symmetric Matrix(대칭행렬)이라고 한다.
     • $A^\top = A$
   • 복소행렬(Complex Matrix)에서 대칭행렬에 대응되는 것을 Hermitian Matrix라고 한다.
     • $(A^\ast)^\top = A^H = A$
2. $(A+B)^\top = A^\top + B^\top$
3. $(AB)^\top = B^\top A^\top$ 
   
   • $(A^\top A)^\top = A^\top (A^\top)^\top = A^\top A : 대칭행렬$ 
   • $(A A^\top)^\top = (A^\top)^\top A^\top = A A^\top : 대칭행렬$
4. $(k A)^\top = kA^\top (k는 임의의 상수)$
5. $det(A^\top) = det(A) : determinant(행렬식)$
6. $(A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top = A^{-\top} : -1(역행렬)$

 

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복소행렬과 Hermitian 행렬, 각각의 특징들의 증명과정은 추후 정리하도록 한다.