[Linear Algebra] Part6. 차원(Dimension)과 랭크(Rank)

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[Linear Algebra] Part5. 선형독립, 선형종속 그리고 기저(base)

 

앞서 기저에 대해 정리했었다.

 

기저는 "어떤 벡터공간을 선형결합을 통해 생성하는 선형독립적인 벡터들"이다.

차원과 랭크에 대해 정리하기 전에 우선 행렬을 바라보는 두 가지 방식인 '열공간'과 '행공간'에 대해서 정리해보자.

 

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1. 열공간(Column Space)와 행공간(Row Space)

간단히 말하면 열을 기준으로 봤을때 열공간, 행을 기준으로 봤을때 행공간이 된다.

주어진 벡터를 통해 span할 때, 열벡터로 span할 수 있는 공간을 열공간, 행벡터로 span할 수 있는 공간을 행공간이라고 한다.

 

 

2. 차원 : Dimension

차원은 기저에 대한 설명이 선행되어야 한다.

 

우선 다시 기저의 정의에 대해 말하자면,

 

"어떤 벡터공간을 선형결합을 통해 생성하는 선형독립적인 벡터들"

 

쉽게말하면 이러한 기저벡터의 개수를 차원(dimension)이라고 한다.

즉, 3차원 공간을 구성하는데 3개의 기저벡터가 필요하고, 10차원 공간을 구성하는데 10개의 기저벡터가 필요하다는 것이다.

 

 

2-1. 열공간, 행공간에서의 차원

n차원 공간을 구성하는데 n개의 기저벡터가 필요하다고 했다.

그렇다면 위의 그림처럼 2개의 벡터로 구성된 행공간과 3개의 벡터로 구성된 열공간은 각각 2차원과 3차원이 될까?

 

간단하게 직관적으로 보면 열공간, 행공간에 대한 것은 행렬을 바라보는 시각의 차이이므로 두 차원은 같아야 한다.

그럼 그 차원이 2일지 3일지는 어떻게 알 수 있을까?

 

행렬의 차원을 알려면 가우스 소거법과 그 개념을 사용해야 하지만 현 단계에서는 아직 정리하지 않았으므로 추후 정리하도록 하겠다.

 

결론을 이야기하자면 위의 그림에서 나타나는 행공간과 열공간의 차원은 2로 같다.

 

 

3. 랭크 : Rank

랭크의 정의부터 정리해보자

 

랭크는 무엇일까?

 

선형대수학에서, "어떤 행렬의 랭크는 해당 행렬의 열벡터에 의해 span된 벡터공간의 차원"이다.

 

랭크의 성질

1. $ rank(A) = rank(A^{T}) $
   • 앞서 말한 것과 같이 행공간과 열공간의 차원은 같다고 한 것이 랭크의 성질이다.
   • 즉, 어떤 행렬 $ A $ 에 대해서 $ A $의 랭크과 $A^{T}$의 랭크는 같다.
2. $A$가 M x N 행렬일때, 아래와 같이 표현할 수 있다.
   • $ n = rank(A) + nullity(A) $
   • $ m = rank(A^{T}) + nullity(A^{T}) $
     • 여기서 $m$은 행의 수, $n$은 열의 수이다.
3. $ n = rank(A) $ 또는 $ m = rank(A^{T}) $ 일때, $full$ $rank$라고 한다.

 

 

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행렬의 차원과 랭크에 대해서 간단하게 정리했다.

 

아직 정리하지 못한 개념과 부족한 부분이 많기에 추후 계속하여 보완해서 정리할 계획이다.