[Linear Algebra] Part10. 랭크(Rank)

행렬의 랭크(Rank)에 대해 자세히 정리해보도록 하자.

 

지난 포스팅에서 랭크의 정의 정도만 정리하고 넘어갔던 것을 자세히 정리해보고자 한다.

 

https://kkuneeee.tistory.com/81

[Linear Algebra] Part6. 차원(Dimension)과 랭크(Rank)

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1. 랭크 : Rank

랭크의 정의는 다음과 같다.

"어떤 행렬 A가 가지는 선형독립적인 열벡터의 수"

 

즉, 다시 말하면, "열공간의 차원( Dimension of Column Space )" 이라고도 할 수 있다.

 

여기서 또, 중요한 것이 선형독립적인 열벡터의 수와 선형독립적인 행벡터의 수는 같다는 것이다.

 

개념적으로 보자.

어떤 행렬 $A$가 주어졌을때,  $A$의 열벡터가 $A^{T}$의 행벡터가 되므로  $A^{T}$의 열벡터로 span된 열공간 $C(A^{T})$는 행렬 $A$의 행공간 $R(A)$와 같다.

즉, $rank(A^{T})$는 $A^{T}$의 선형독립적인 열벡터의 수를 나타내고, 이는 $A$의 선형독립적인 행벡터의 수가 된다.

그러므로, rank는 "열공간의 차원"이 되는 동시에 "행공간의 차원"이 되고, 랭크의 정의인 "선형독립적인 열벡터의 수"는 "선형독립적인 행벡터의 수"와 같게 된다.

 

식으로 나타내면 다음과 같다.

$$rank(A) = rank(A^{T})$$

 

 

랭크 예시)

 

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \Rightarrow rank(A) = 1 \cdots (1)\\ B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \Rightarrow rank(B) = 2 \cdots (2)$$

 

예시의 (1)에서 행렬 $A$의 랭크는 1이다. 모든 열벡터가 선형종속적이며, $(x,0)$꼴의 벡터로 모든 열벡터를 표현할 수 있기 때문이다.

 

(2)에서는 $(x,0),(0,y)$의 벡터 쌍으로 표현할 수 있기 때문에 랭크는 2이다.

여기서 랭크가 2라는 것은 독립적인 행이 2개라는 의미인데, 행의 성분 개수는 3이므로 "3차원 좌표 평면(공간)에서 2차원 평면을 span할 수 있다."고 해석할 수 있다.

또, 열벡터 기준으로 보면 열의 성분이 2개이므로 랭크는 최대가 2가 될 수 있고, 2차원 평면을 span할 수 있다.

 

이때, span되는 열공간의 차원은 2이고, 행공간의 차원은 2이므로 랭크는 "열공간의 차원"임과 동시에 "행공간의 차원"이 된다.

 

여기서 또, 알 수 있는 점은 랭크는 행렬의 행 또는 열 개수 중 작은 것을 최대로 가질 수 있다는 것이다.

즉, 행렬 $A$가 $n \times m$ 행렬일 때, $rank(A) \leq min(n,m)$이다.

 

 

2. rank-deficient, full rank, full column(row) rank

행렬의 행 또는 열 개수와 랭크에 따라서 부르는 명칭이 다르게 된다.

 

$$A_{2\times 3},\; rank(A)=1\Rightarrow rank \; \; deficient \\ A_{2\times 3},\; rank(A)=2\Rightarrow full \; row \; rank \\ A_{3\times 2},\; rank(A)=2\Rightarrow full \; column \; rank \\ A_{3\times 3},\; rank(A)=3\Rightarrow full \; \; rank \\ A_{3\times 3},\; rank(A)=2\Rightarrow rank \; \; deficient \\ $$

 

다시 정리하면, 행렬의 행, 열의 개수 중 최소가 되는 $min(n,m)$이 랭크의 최대값이 된다.

• 랭크가 $min(n,m)$보다 작으면, rank deficient
• 랭크가 행 수 $n$와 같으면, full row rank
• 랭크가 열 수 $m$와 같으면, full column rank
• n=m인 정사각행렬일때, 랭크가 행(또는 열) 수와 같으면, full rank